Динамические модели в биологии

Реестр моделей

Базовые модели математической биофизики

Неограниченный рост. Экспоненциальный рост. Автокатализ

Одно из фундаментальных предположений, лежащих в основе всех моделей роста - пропорциональность скорости роста численности популяции, будь то популяция зайцев или популяция клеток. Для многих одноклеточных организмов или клеток, входящих в состав клеточных тканей, размножение - это просто деление, то есть удвоение числа клеток через определенный интервал времени, называемый характерным временем деления. Для сложно организованных растений и животных размножение происходит по более сложному закону, но в простейшей модели можно предположить, что скорость размножения вида пропорциональна численности этого вида.

Математически это записывается с помощью дифференциального уравнения, линейного относительно переменной x, характеризующей численность (концентрацию) особей в популяции:

dx \ dt = Rx (1)

Здесь R в общем случае может быть функцией как самой численности, так и времени, или зависеть от других внешних и внутренних факторов.

Закон (1) был сформулирован Томасом Робертом Мальтусом (1766-1834) в книге 'О росте народонаселения' (1798). Согласно (1), если коэффициент пропорциональности R = r = сonst (как это предполагал Мальтус), численность будет расти неограниченно по экспоненте:

x = x0ert; x0 = x(t0)

Для большинства популяций существуют ограничивающие факторы, и по тем или иным причинам рост популяции прекращается. Единственное исключение представляет человеческая популяция, которая на протяжении всего исторического времени растет даже быстрее, чем по экспоненте. Исследования Мальтуса оказали большое влияние как на экономистов, так и на биологов, в частности теорию Мальтуса подробно анализирует в своих дневниках Чарльз Дарвин. Одну из причин нарушения закона Мальтуса в реальной живой природе Дарвин видит в борьбе видов за существование.

Закон экспоненциального роста справедлив на определенной стадии роста для популяций клеток в ткани, водорослей или бактерий в культуре. В моделях математическое выражение, описывающее увеличение скорости изменения величины с ростом самой этой величины, называют автокаталитическим членом (авто - само, катализ - модификация скорости реакции, обычно ускорение, с помощью веществ, не принимающих участия в реакции), автокатализ - «самоускорение» реакции.

 

Дополнительная информация:

 

В начало

© 2001-2017 Кафедра биофизики МГУ