|
(31)
|
Стремление к росту и размножению ведет к распространению в пространстве,
занятию нового ареала, экспансии живых организмов. Жизнь распространяется так же
как пламя по степи во время степного пожара. Эта метафора отражает тот факт, что
пожар (в одномерном случае - распространение пламени по бикфордову шнуру)
описывается с помощью той же базовой модели, что и распространение вида.
Знаменитая в теории горения модель независимо была предложена Фишером (Fisher, 1937)и российскими математиками Петровским, Колмогоровым, Пискуновым. в 1937 г. именно в
биологической постановке как модель распространения доминирующего вида в
пространстве. Все три автора этой работы являются крупнейшими российскими
математиками:
Академик Иван Георгиевич
Петровский (1901-1973) - автор фундаментальных трудов по теории
дифференциальных уравнений, алгебре, геометрии, математической физике, в
течение более 20 лет был ректором Московского Государственного университета
им. М.В. Ломоносова. (1951-1973).
Андрей Николаевич
Колмогоров – глава российской математической школы по теории
вероятностей и теории функций, автор фундаментальных трудов по математической
логике, топологии, теории дифференциальных уравнений, теории информации,
организатор школьного и университетского математического образования, написал
несколько работ, в основу которых положены биологические постановки. Рассмотрим постановку задачи о распространении вида в активной - богатой
энергией (пищей) среде. Пусть в любой точке прямой r >
0 размножение вида описывается функцией f(x) = x(1 -
x). В начальный момент времени вся область слева от нуля занята видом
x, концентрация которого близка к единице. Справа от нуля
- пустая территория. В момент времени t = 0 вид начинает
распространяться (диффундировать) вправо с константой диффузии D. Процесc описывается уравнением:
|
(31)
|
При t > 0 в такой системе начинает распространяться
волна концентраций в область r > 0, которая является
результатом двух процессов: случайного перемещения особей (диффузии частиц) и
размножения, описываемого функцией f(x). С течением
времени фронт волны перемещается вправо, причем его форма приближается к
определенной предельной форме. Скорость перемещения волны определяется
коэффициентом диффузии и формой функции f(x), и для
функции f(x), равной нулю при x =
0 и x = 1 и положительной в промежуточных точках,
выражается простой формулой: l = 2[Df’(0)]1/2
Изучение пространственного перемещения в модели хищник-жертва (10)
показывает, что в такой системе в случае неограниченного пространства будут
распространяться волны "бегства и погони", (Сhow, Tam,
1976) а в ограниченном пространстве установятся стационарные
пространственно неоднородные структуры (диссипативные
структуры), или автоволны, в зависимости от
параметров системы.
Дополнительная информация:
© 2001-2024 Кафедра биофизики МГУ
