Метод расщепления, основанный на неявных схемах первого порядка точности

В данном разделе для определенности считаем, что , поэтому для норм этих вещественных гильбертовых пространств справедливы следующие равенства: . Рассмотрим сначала однородную задачу

в , (1.1)

при t = 0, (1.2)

где . Пусть операторы не зависят от времени. Алгоритм расщепления, основанный на использовании неявных схем первого порядка точности по времени, имеет следующий вид:

(2)

Покажем, что такой алгоритм является абсолютно устойчивым. Умножим уравнение скалярно на . Получим соотношение . Из положительной полуопределенности оператора вытекает, что , или . Но , поэтому . С помощью этого рекуррентного неравенства получаем . Это и означает, что при сделанных предположениях расчет по схеме расщепления (2) будет абсолютно устойчивым. Нетрудно убедиться, что на гладких решениях система (2) аппроксимирует исходную задачу (1.1) - (1.2) с первым порядком аппроксимации по времени.

Рассмотрим теперь неоднородную задачу

в ,, (3.1)

при t = 0. (3.2)

Для нее схема расщепления имеет следующий вид

(4)

Она абсолютно устойчива и обладает первым порядком точности по , причем справедлива оценка

. (5)

Докажем последнее соотношение. Для этого умножим скалярно каждое из уравнений (4) соответственно на , ... , . Тогда, аналогично предыдущему, получим Последнее уравнение, полученное из (4), рассмотрим более подробно. Имеем . Учитывая положительную полуопределенность оператора , получим, что . В силу неравенств , имеем . Сокращая на , приходим к неравенству . Исключая решение с дробными индексами, получаем . Учитывая, что и исключая промежуточные значения решения, получаем оценку (5), из которой заключаем об абсолютной устойчивости схемы.

Реализация алгоритмов (2), (4) состоит в последовательном решении соответствующих уравнений. Если расщепление исходного оператора А на сумму более простых операторов проведено так, что обращение операторов осуществить просто (как, например, в случае трехдиагональных или треугольных матриц), то легко найти и - приближенное решение задачи, соответствующее . Алгоритмы (2) и (4) допускают очевидные обобщения, если оператор А зависит от времени. В этом случае в цикле вычислений по схеме расщепления вместо А следует задавать подходящую разностную аппроксимацию этого оператора на каждом временном интервале .