Схемы Кранка - Николсона

Пусть рассматривается однородная задача (1.1) - (1.2)

в ,

при t = 0,

где оператор А является положительно полуопределенным, а решение обладает достаточной гладкостью. Будем считать, что на границе решение удовлетворяет некоторым граничным условиям. Кроме того, будем считать, что осуществлена конечно-разностная аппроксимация соответствующей эволюционной задачи по всем переменным, кроме временной переменной t (то есть А - матрица, - сеточная функция, зависящая от t).

Предположим сначала, что оператор А не зависит от t. Схема Кранка - Николсона для однородной задачи записывается в следующем виде:

, . (8)

Она аппроксимирует исходную задачу со вторым порядком по . Эта схема является результатом попеременного применения схем первого порядка точности, явной и неявной, записанных для интервалов времени и соответственно:

(9)

Исключая из этой системы разностных уравнений неизвестную , приходим к схеме Кранка - Николсона (8). Примеры использования этой схемы можно найти в работах по моделированию гидрологических характеристик и процессов распространения примесей в реках (Аргучинцев, Аргучинцева, 2000), исследованию вычислительных свойств консервативных схем для уравнений бароклинных течений в озерах (Архипов, 1986), моделированию ветровых течений в мелких водоемах (Gьting, Hutter, 1998), исследованию различных вариантов численных схем решения уравнения типа адвекция - диффузия (Yang et al., 1998).

Рассмотрим теперь случай, когда оператор А зависит от времени и в исходной задаче аппроксимирован разностным оператором, который мы обозначим через . Тогда мы будем иметь дело со следующей задачей линейной алгебры

, , (10)

причем предполагается, что , то есть разностный оператор положительно полуопределен для любых функций из подпространства Ф. Уравнение (10) разрешим относительно неизвестной . Получим

(11)

или , где - оператор шага: . Для доказательства устойчивости умножим (10) скалярно на . Получим

Поскольку разностный оператор по условию положительно полуопределенный, то из последнего равенства получаем, что , то есть устойчивость схемы обеспечена (равенство будет иметь место в случае кососимметричного оператора , то есть когда ).

Рассмотрим теперь вопрос о порядке аппроксимации в схеме Кранка - Николсона, когда имеет зависимость оператора А от времени. Показано (Марчук, 1988), что если в качестве аппроксимирующего оператора выбрать , то схема будет иметь первый порядок аппроксимации по времени. Если же аппроксимирующий оператор выбран в виде или , то в этом случае схема Кранка - Николсона будет иметь второй порядок аппроксимации по .

В случае неоднородной системы уравнений (3.1) - (3.2)

в ,,

при t = 0.

разностная аппроксимация задачи на основе схемы Кранка - Николсона в предположениях, сформулированных выше, имеет вид, аналогичный (8):

, , (12)

где . Эта схема имеет второй порядок аппроксимации по . Ее можно представить в форме операторного уравнения

(13)

с оператором шага . Покажем, что эта схема устойчива. Из уравнения (13) следует, что

. (14)

Поскольку , и имеет место соотношение , то отсюда на основании леммы Келлога с необходимостью следует, что и . Следовательно, (14) приводит к неравенству