Аддитивные схемы двух- и трехкомпонентного расщепления на основе метода переменных направлений

В конечномерном гильбертовом пространстве Н рассмотрим матричную однородную эволюционную задачу (1.1) - (1.2)

в ,

при t = 0,

где . Для простоты ограничимся случаем положительного оператора А, не зависящего от времени. Тем самым при таком расщеплении мы предполагаем, что оба оператора являются неотрицательными. Ставится задача построения приближенного решения задачи (1.1) - (1.2) с использованием такой схемы, которая по своим вычислительным затратам эквивалента решению задачи Коши для уравнений , , то есть решению более простых (в некотором смысле) задач. Схема переменных направлений для этой задачи имеет вид

(60)

В такой форме она была предложена Писменом, Рэкфордом и Дугласом (Douglas, 1956; Douglas, 1958; Douglas, Gunn, 1963; Douglas, Gunn, 1964; Peaceman, Rachford, 1955) в применении к параболической задаче с двумя пространственными переменными. При этом оператор являлся разностной аппроксимацией одномерного дифференциального оператора . Отметим, что схема (60) в этом случае симметрична, то есть в ней и меняются ролями от первого дробного шага ко второму (чем и обусловлено название метода). Решение каждого из этих уравнений в параболической задаче легко реализуется методом прогонки, поэтому схему (60) называют также схемой продольно-поперечной прогонки. Если в (60) исключить промежуточное решение , то получим

. (61)

Сравнивая выражение (61) со схемой Кранка - Николсона (8), заключаем, что она обладает вторым порядком аппроксимации по . Далее, если рассматривать (60), когда есть трехточечная аппроксимация оператора : , то легко установить, что данная схема абсолютно устойчива.

В случае неоднородной системы уравнений (3.1) - (3.2)

в ,,

при t = 0

необходимо решить задачи Коши для уравнений , . При приближенном решении для правой части также используется аддитивное представление . Разностная схема переменных направлений Писмена - Рекфорда (Peaceman, Rachford, 1955) для задачи (3.1) - (3.2) при сделанных выше предположениях состоит из двух шагов. Сначала по известному значению находится вспомогательная сеточная функция, которую мы обозначим , из уравнения

. (62.1)

Интерпретируя как решение на момент времени , можно отметить, что уравнение (62.1) соответствует решению по чисто неявной схеме для оператора и по явной схеме для оператора . В силу этого второй шаг метода переменных направлений будет соответствовать использованию уравнения

. (62.2)

Уравнение (62.2), наоборот, соответствует решению по чисто неявной схеме для оператора и по явной схеме для оператора . При расщеплении по пространственным переменным, например, при решении краевой задачи для двухмерного параболического уравнения первый шаг связывается с использованием чисто неявной схемы по первой переменной и явной - по второй переменной. Второй шаг основан на применении явной схемы по первой переменной и неявной - по второй переменной. При такой интерпретации схема (62.1), (62.2) называется схемой переменных направлений. Реализация схемы переменных направлений (62.1), (62.2) основана на определении и из уравнений

, (63.1)

. (63.2)

Запись (63.1), (63.2) указывает на то, что при расщеплении по пространственным переменным решение находится обращением соответствующего одномерного сеточного оператора методом прогонки сначала по одной переменной (одному направлению), потом - по другой (другому направлению).

Приведем априорную оценку, выражающую устойчивость схемы переменных направлений (62.1) - (62.2) по начальным данным и правой части. Пусть в схеме (62.1) - (62.2) постоянные операторы . Тогда для разностного решения имеет место следующая оценка устойчивости по начальным данным и правой части:

. (64)

Исследование устойчивости основано на операторном неравенстве

. (65)

Имеем , поэтому неравенство (65) справедливо для операторов и в том случае, если , то есть при . Из (63.1), (63.2) непосредственно следует

, (66.1)

. (66.2)

На основании (65), полагая , из (66.1), (66.2) получим

С помощью рекуррентного неравенства , исключая промежуточные значения решения, получаем искомую априорную оценку (64), из которой заключаем об устойчивости схемы по начальным данным и правой части.

Если проанализировать с помощью метода Неймана поведение ошибки по каждому направлению , то оказывается, что на первом полушаге ошибка в направлении уменьшается, а в направлении увеличивается, затем, на втором полушаге, ошибка в направлении возрастает, а в направлении убывает. Однако, как бы сильно ни выросла ошибка в каком-либо направлении на данном полушаге, на следующем она непременно уменьшится, так что в целом на двух полушагах она не возрастает по модулю (Яненко, 1967). В этой же работе отмечается, что схема метода переменных направлений оказывается непригодной для трехмерной параболической задачи, поскольку в этом случае схема не является абсолютно устойчивой. Поэтому во многих задачах предпочтительны схемы метода стабилизирующей поправки (которые вместе со схемой переменных направлений иногда называют также неявными схемами переменных направлений).

СхемыстабилизирующейпоправкибылипредложеныДугласомиРэкфордом (Douglas, Rachford, 1956) для решения трехмерного уравнения теплопроводности. Так, если , то эта схема для однородного уравнения имеет следующий вид:

(67)

Исключая из (67) промежуточные значения и , придем к уравнению

. (68)

Отсюда следует, что схема имеет первый порядок точности по . Рассматривая ее для уравнения теплопроводности, легко установить, что она абсолютно устойчива. Кроме того, здесь структура схемы такова: первый дробный шаг дает полную аппроксимацию уравнения теплопроводности, следующие дробные шаги являются поправочными и используются для улучшения устойчивости. Поэтому такие схемы и называют схемамистабилизирующей поправки, или схемами с поправкой на устойчивость.