Динамические модели в биологии

Реестр моделей

Динамика популяций

Матричные модели популяций

Детализация возрастной структуры популяций приводит к классу матричных моделей, впервые предложенных Лесли (1945, 1948). Предполагается, что популяция содержит n возрастных групп, из которых группы с номерами k, k+1 ,..., k+p производят потомство. Размножение происходит в определенные моменты времени: t1, t2, ..., tn Тогда в начальный момент времени t0 популяция характеризуется вектор-столбцом

(18)

Вектор X(t1), характеризующий популяцию в следующий момент времени, например, через год, связан с вектором X(t0) через матрицу перехода L следующим образом:

(19)

Поясним смысл стоящего справа вектора. Потомство, которое появилось за единицу времени от всех репродуктивных групп, поступает в группу 1.

(20)

Вторая компонента получается с учетом перехода особей, находившихся в момент t0 в первой группе, во вторую и возможной гибели части из этих особей:

b1 x1 (t0), 0 < bn < 1.

Аналогично получаются третья и все остальные компоненты. Все особи, находившиеся в момент t0 в последней возрастной группе к моменту t1 погибнут. Поэтому последняя компонента вектора X(t1) составляется лишь из тех особей, которые перешли из предыдущей возрастной группы.

xn (t) = bn-1 xn-1(t), 0 < bn < 1.

Kоэффициенты: a - коэффициент рождаемости, b - коэффициент выживания. В моделях Лесли они полагались постоянными, в более сложных моделях могут быть представлены более сложными функциями, зависящими от времени, концентрации субстрата, размеров самой популяции. Вектор X(t1) получается умножением вектора X(t0) на матрицу:

x(t1) = L x(t0)

которая имеет вид:

(22)

По диагонали матрицы стоят нули, под диагональными элементами - коэффициенты выживания b, на первой строке стоят члены, характеризующие число особей, родившихся от соответствующих групп. Все остальные элементы матрицы равны нулю. Таким образом, зная структуру матрицы L и начальное состояние популяции (вектор-столбец X(t0), можно прогнозировать состояние популяции в любой наперед заданный момент времени.

X (tk) = LX(tk-1) = Lk X (t0) (23)

Главное собственное число матрицы L дает скорость, с которой размножается популяция, когда ее возрастная структура стабилизировалась (См. [Ризниченко Г. Ю., Рубин А. Б. Математические модели биологических продукционных процессов], Модели подвижности ДНК).

 

Дополнительная информация:

 

В начало

© 2001-2017 Кафедра биофизики МГУ